"run out of～" の意味は次の３つです：
- 《自動詞》～から走って出て来る、～から逃げ出す
- 《他動詞》～から追い出す
- 《自動詞》～が尽きる
1.「～から走って出て来る、～から逃げ出す」
1.1. 解説
"run" が「走る」という意味で、"out of" は「～の内から外へ」の意味です。
1.2. 用例
We ran out of the living room screaming.
私たちは叫びながら今から逃げ出した。
＃ 居間で何か恐ろしいことがありました。
2.「～から追い出す」
2.1. 解説
"run" が「走らせる」という他動詞の意味で、"out of" は「～の内から外へ」の意味です。
この意味の "run out of" では、"run... out of～" という具合に "run" の後ろに目的語（追い出される対象）が入ります。
2.2. 用例
The old man ran the kids out of his orchard.
老人は子どもたちを果樹園から追い払った。
I was run out of town.
私は町を追い出された。
＃ この例文は受動態なので、本来は "run" の後ろで "me" となる「私」が主語 "I" として文頭に来ています。
能動態に戻すと、"They ran me out of town."。 "They" が指すは町の人たちです。3.「～が尽きる」
3.1. 解説
"run out of" の成り立ち
「～が尽きる」の "run out of～" は、（"run" と "out of" ではなく）"run out" と "of" に分けて理解します：
- run out ・・・ 慣用句で「（物資や資源が）なくなる、枯渇する」という意味。
- of ・・・ 何に関して不足するかを示す。
慣用句 "run out" の成り立ち
慣用句 "run out" で "run" と "out" は次の意味です：
- run ・・・ 自動詞で「１つの状態から別の状態になる」という意味。（＊）
- out ・・・ 形容詞で「欠如した、不足した、前はあったものが無くなった」という意味。
（＊）「別の状態」は通例、望ましくない（悪い）状態。
まとめ
"run out of" の逐語訳は「何かに関して（of）、前はあったものが無い状態に（out）なる（run）」です。
3.2. 用例
I've run out of money.
お金が底を突いた。
＃ 無一文です。
Those people have been here for hours, and they're starting to run out of patience.
あの人たちはもう２時間もここにいて、我慢の限界が近づいている。
＃ 待ちくたびれています。 "run out of patience" で「辛抱（忍耐）が尽きる」。
I usually just let her yell until she runs out of steam.
私は通例、彼女の勢いが尽きるまで大声を張り上げさせる。
＃ 彼女の怒りが尽きるまで叫びたいだけ叫ばせる。
"run out of steam" は慣用句で「勢い・元気・意欲が尽きる」という意味。 この "steam" は蒸気機関車のエネルギー源としての「蒸気」でしょう。3.3. 補足
「～が尽きる」を意味する "run out of～" で主語は常に（モノではなく）人です。
「尽きるモノ」が主語のポジションに入るのも可能ですが、その場合には "run out of" ではなく "run out" となります（"of" が使われない）。
"of～" で示すべきモノが主語に来るので、"of" が不要です。
次の文例では、「尽きるモノ」が主語に来ています。
Time is running out.
上の文を人を主語にして書き換えると次の通り。
時間が尽きかけている。
We are/I am/You are running out of time.
私たち/私/あなたは時間が尽きかけている。
「有効期限が切れる」の "run out"
"run out" には「有効期限が切れる（＝expire）」という意味もあります。 「有効期限が切れる」の意味の "run out" は常にモノが主語なので、"run out" が "of" を伴うことはありません。
My driving licence runs out next week.
私の運転免許は来週切れる